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              數學筆記有哪些？數學無窮級數和收斂判定
              
      
               來源：CSDN   時間：2022-12-09 15:43:53 
        
      
              
	  
      
	  
              
        
              希臘的哲學家芝諾曾經辯論說，一支箭永遠不能達到它的目標。他說，首先箭要到達目標距離的一半，然后又必須到達剩余距離的一半，然后還有一半，這樣就沒有窮盡。因為這個旅程有無限個部分，所以箭要花費無限的時間才能結束這個旅程。這就是“芝諾悖論”。芝諾的結論是——時間是不存在的。盡管他自己也不相信這個結論。這個問題看似詭異，但在數學面前，神秘蕩然無存，破解問題的關鍵就是無窮級數。
              

              悖論的謎底

              【資料圖】
              

              把芝諾問題用數學表達就是：
              

              更普遍的寫法是：
              

              其實很早就有人揭開了悖論的謎底，先將等號兩邊同時乘以a：
              

              所以芝諾問題的最終答案是1。需要注意的是，只有當 -1 < a < 1時上述公式才成立，否則結果將是發散的。
              

              無窮級數
              

              對于和幾何級數類似的和式，用數學符號表示：
              

              稱SN為部分和，當N→∞時，和式就是無窮極限：
              

              無窮極限S的結果可能是收斂的，有可能是發散的。
              

              無窮級數的收斂性
              

              我們感興趣的第一個問題是無窮級數的收斂性。
              

              上式的收斂性沒有那么明顯，應當如何判斷？
              

              仔細觀察上式會發現，它和黎曼和及其類似，如果Δx =1，那么
              

              需要注意的的，二者接近但并不相等，積分處理的是當Δx→0的情況。
              

              對于黎曼和，如果當Δx = 1時使用左矩形公式（數值積分可參考《數學筆記19——數值積分》），則：
              

              如果使用右矩形公式，則：
              

              綜上：
              

              由于lnN是發散的，所以SN也是發散的。
              

              積分比較判別法
              

              上面的例子展示了和式和積分的關系，這樣描述“積分比較法”：如果f(x)是減函數，且f(x) > 0，則：
              

              和式和積分的收斂性一致。
              

              積分比較的基本思想就是用積分代替和式，因為和式通常很難計算，但和式對應的積分往往很容易，所以需要化繁為簡，這也是數學的基本思想。
              

              極限比較判別法
              

              與積分比較類似，如果f(x)等價于g(x)，即x→∞時f(x)/g(x) = 1，其中n > 0, f, g 
>，則∑f(x)和∑g(x)的收斂性一致。
              

              比值判別法
              

              當積分法和極限法出現困難時，比值法將是一個值得嘗試的方案，對于∑an，an > 0 來說，
              

              如果L < 1，∑an是收斂的；如果L > 1∑an是發散的；如果L = 1，不能使用比值判別法。
              

              示例
              

              判斷下面三個式子的收斂性：
              

              a.使用積分判別法
              

              答案是收斂的，最終結果≈2
              

              該求解過程也可以推廣到f(x) = 1/nm
              

              b.使用極限比較判別法
              

              結果是發散的。
              

              c.使用極限比較判別法
              

              結果是收斂的。
              

              綜合示例
              

              示例1
              

              判斷下面三個式子的收斂性：
              

              a.使用極限比較判別法
              

              答案是收斂。
              

              b.
              

              題目是幾何級數，答案是發散。
              

              c.使用極限比較判別法
              

              lnn << n，lnn/n2 << 1/n，所以結果是收斂。
              

              d.使用比值判別法
              

              答案是發散。
              

              e.使用比值判別法
              

              答案是收斂的。
              

              示例2
              

              判斷下面式子的收斂性：
              

              a.使用積分判別法，
              

              答案是發散
              

              b.使用積分判別法，
              

              答案是收斂的。
              

              作者：我是8位的
              

              出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
              

              本文以學習、研究和分享為主，如需轉載，請聯系本人，標明作者和出處，非商業用途！
                    
              
      
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